Kommutative Monoidringe/Signaturen/Produktformel/Textabschnitt

Das ${}d$-dimensionale Volumen eines durch eine Linearform ${}\ell$ bzw. die Gleichung ${}\ell =1$ aus einem spitzen polyedrischen Kegel herausgeschnittenen Kegels ist das ${}{\frac {1}{d}}$-fache des ${}(d-1)$-dimensionalen Volumen des Querschnittes. Die ${}D$-Signatur des Kegels ist somit das ${}(d-1)!$-fache des Querschnittsvolumens.

Seien nun zwei Kegel in ${}\mathbb {R} ^{d}$ bzw. im ${}\mathbb {R} ^{e}$ gegeben. Der Produktkegel wird durch die Vereinigung der jeweiligen Linearformen beschrieben, aufgefasst als Linearformen auf dem ${}\mathbb {R} ^{d+e}$ über die Projektionen. Der Querschnitt zum Produktkegel zur Linearform ${}\ell +\kappa$ ist ${}\bigcup _{0\leq x\leq 1}Q_{1}(x)\times Q_{2}(1-x)$. Das Querschnittsvolumen des Produktes ist

$\int _{0}^{1}x^{d-1}(x-1)^{e-1}dx.$

Dies ist nach Aufgabe gleich

${\frac {(d-1)!(e-1)!}{(d+e-1)!}}.$