Kommutative Ringe/Bruchrechnung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Elementen  $x,y,z,w\in R$,  wobei $z$ und $w$ Einheiten seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

1. $\frac{x}{1}=x,$

2. $\frac{1}{x}=x^{-1},$

3. $\frac{1}{-1}=-1,$

4. $\frac{0}{z}=0,$

5. $\frac{z}{z}=1,$

6. $\frac{x}{z}=\frac{xw}{zw},$

7. $\frac{x}{z}\cdot \frac{y}{w}=\frac{xy}{zw},$

8. $\frac{x}{z}+\frac{y}{w}=\frac{xw+yz}{zw}.$

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also

$(x-z)\cdot (y-w)=(x+w)(y+z)-(z+w)?$

Zeige, dass die „beliebte Formel“

$\frac{x}{z}+\frac{y}{w}=\frac{x+y}{z+w}$

nicht gilt, außer im Nullring.

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