Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe/Lösung
Erscheinungsbild
Die Bijektivität impliziert nach Definition stets die Surjektivität. Es sei surjektiv. Dann gibt es insbesondere ein Urbild der , also ein Element mit . Dies bedeutet, dass eine Einheit ist. Wegen der Distributivität ist die Abbildung ein Gruppenhomomorphismus der additiven Gruppe . Um die Injektivität zu zeigen wenden wir das Kernkriterium an. Es sei also . Dann ist aber
Element besteht.
Es sei . Dann ist die Multiplikation mit injektiv, aber nicht surjektiv, da nur gerade Zahlen im Bild liegen.