Kommutative Ringtheorie/Euklidischer Bereich/Euklidischer Bereich Definition Alternative

Ein euklidischer Bereich (oder euklidischer Ring) ist ein Integritätsbereich $R$, für den eine Abbildung $\ \delta :R-\{0\}\to {\mathbb {N} }$ existiert, die die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt:

1. Für Elemente $a,b\neq 0$ mit $a\,|\,b$ gilt $\delta (a)\leq \delta (b)$.
2. Für Elemente $a,b\,\,$ mit $b\neq 0$ gibt es $q,r\in R$ mit

$\,a=qb+r{\mbox{ und }}r=0{\mbox{ oder }}\delta (r)<\delta (b)\,.$