Ein euklidischer Bereich (oder euklidischer Ring ) ist ein Integritätsbereich
R
{\displaystyle R}
δ
:
R
−
{
0
}
→
N
{\displaystyle \ \delta :R-\{0\}\to {\mathbb {N} }}
Für Elemente
a
,
b
≠
0
{\displaystyle a,b\neq 0}
a
|
b
{\displaystyle a\,|\,b}
δ
(
a
)
≤
δ
(
b
)
{\displaystyle \delta (a)\leq \delta (b)}
Für Elemente
a
,
b
{\displaystyle a,b\,\,}
b
≠
0
{\displaystyle b\neq 0}
q
,
r
∈
R
{\displaystyle q,r\in R}
a
=
q
b
+
r
und
r
=
0
oder
δ
(
r
)
<
δ
(
b
)
.
{\displaystyle \,a=qb+r{\mbox{ und }}r=0{\mbox{ oder }}\delta (r)<\delta (b)\,.}
