Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $𝔟$ ein Ideal im Polynomring $R [X]$ . Zu $n \in ℕ$ definieren wir ein Ideal $𝔞_{n}$ in $R$ durch

𝔞_{n} = {c \in R ∣ es gibt F \in 𝔟 mit F = c X^{n} + c_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + c_{1} X + c_{0}} .

Die Menge $𝔞_{n}$ besteht also aus allen Leitkoeffizienten von Polynomen vom Grad $n$ aus $𝔟$ . Es handelt sich dabei offensichtlich um Ideale in $R$ (wobei wir hier $0$ als Leitkoeffizient zulassen). Ferner ist $𝔞_{n} \subseteq 𝔞_{n + 1}$ , da man ja ein Polynom $F$ vom Grad $n$ mit Leitkoeffizient $c$ mit der Variablen $X$ multiplizieren kann, um ein Polynom vom Grad $n + 1$ zu erhalten, das wieder $c$ als Leitkoeffizienten besitzt. Da $R$ noethersch ist, muss diese aufsteigende Idealkette stationär werden; sei $n$ derart, dass $𝔞_{n} = 𝔞_{n + 1} = \dots$ ist.

Zu jedem $i \leq n$ sei nun $𝔞_{i} = (c_{i 1}, \dots, c_{i k_{i}})$ ein endliches Erzeugendensystem, und es seien

F_{i j} = c_{i j} X^{i} + Terme von kleinerem Grad

zugehörige Polynome aus $𝔟$ (die es nach Definition der $𝔞_{i}$ geben muss).

Wir behaupten, dass $𝔟$ von allen ${F_{i j} ∣ 0 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq k_{i}}$ erzeugt wird. Dazu beweisen wir für jedes $G \in 𝔟$ durch Induktion über den Grad von $G$ , dass es als $R$ -Linearkombination mit diesen $F_{i j}$ darstellbar ist. Für $G$ konstant, also $G \in R$ , ist dies klar. Es sei nun der Grad von $G$ gleich $d$ und die Aussage sei für kleineren Grad bewiesen. Wir schreiben

G = c X^{d} + c_{d - 1} X^{d - 1} + \dots + c_{1} X + c_{0} .

Es ist $c \in 𝔞_{d}$ und damit kann man $c$ als $R$ -Linearkombination der $c_{i j}$ , $0 \leq i \leq n$ , $1 \leq j \leq k_{i}$ , schreiben. Bei $d \leq n$ kann man $c$ sogar als $R$ -Linearkombination der $c_{d j}$ , $j = 1, \dots, k_{d}$ , schreiben, sagen wir $c = \sum_{j = 1}^{k_{d}} r_{j} c_{d j}$ . Dann ist $G - \sum_{j = 1}^{k_{d}} r_{j} F_{d j} \in 𝔟$ und hat einen kleineren Grad, sodass man darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Bei $d > n$ ist

c = \sum_{i = 0, \dots, n, j = 1, \dots, k_{i}} r_{i j} c_{i j} .

Damit gehört

G - \sum_{i = 0, \dots, n, j = 1, \dots, k_{i}} r_{i j} X^{d - i} F_{i j}

ebenfalls zu $𝔟$ und hat einen kleineren Grad, sodass man wieder die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.

Zur bewiesenen Aussage