Es sei
ein Ideal im Polynomring
. Zu
definieren wir ein Ideal
in
durch
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {a}}_{n}={\left\{c\in R\mid {\text{es gibt }}F\in {\mathfrak {b}}{\text{ mit }}F=cX^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33eaa61bdd76563d7d5d977082e64e3b59b657da)
Das Menge
besteht also aus allen Leitkoeffizienten von Polynomen vom Grad
aus
. Es handelt sich dabei offensichtlich um Ideale in
(wobei wir hier
als Leitkoeffizient zulassen).
Ferner ist
, da man ja ein Polynom
vom Grad
mit Leitkoeffizient
mit der Variablen
multiplizieren kann, um ein Polynom vom Grad
zu erhalten, das wieder
als Leitkoeffizienten besitzt. Da
noethersch ist, muss diese aufsteigende Idealkette stationär werden; sei
so, dass
ist.
Zu jedem
sei nun
ein endliches Erzeugendensystem, und es seien
-
![{\displaystyle {}F_{ij}=c_{ij}X^{i}+{\text{ Terme von kleinerem Grad }}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce6909c7261d84ac6d52adcbb98afc3f2e2de081)
zugehörige Polynome aus
(die es nach Definition der
geben muss).
Wir behaupten, dass
von allen
erzeugt wird. Dazu beweisen wir für jedes
durch Induktion über den Grad von
, dass es als Linearkombination mit diesen
darstellbar ist. Für
konstant, also
, ist dies klar. Es sei nun der Grad von
gleich
und die Aussage sei für kleineren Grad bewiesen. Wir schreiben
-
![{\displaystyle {}G=cX^{d}+c_{d-1}X^{d-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd5bf8f5000f5a092c2d2c970962285bc6aab9bc)
Es ist
und damit kann man
als
-Linearkombination der
, schreiben. Bei
kann man
sogar als
-Linearkombination der
, schreiben, sagen wir
. Dann ist
und hat einen kleineren Grad, so dass man darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Bei
ist
-
![{\displaystyle {}c=\sum _{i=0,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,k_{i}}r_{ij}c_{ij}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e743a9ea6b4dadbc7f55ff3ca65ee0ddd6859fef)
Damit gehört
-
ebenfalls zu
und hat einen kleineren Grad, so dass man wieder die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.