Kommutative Ringtheorie/Ideal mit nur einem einzigen maximalen Oberideal/Restklassenring direkt und nach Lokalisierung/Aufgabe

Es sei  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein Ideal in einem kommutativen Ring, das in genau einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ als einzigem Primoberideal enthalten sei. Zeige, dass dann  ${}R/{\mathfrak {a}}\cong R_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {m}}$  ist. Folgere daraus, dass für ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem noetherschen kommutativen Ring die Isomorphie  ${}R/{\mathfrak {m}}^{n}\cong R_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{n}R_{\mathfrak {m}}$  für jedes ${}n$ gilt.

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