Kommutative Ringtheorie/Ideal mit nur einem einzigen maximalen Oberideal/Restklassenring direkt und nach Lokalisierung/Aufgabe

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Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring, das in genau einem maximalen Ideal als einzigem Primoberideal enthalten sei. Zeige, dass dann ist. Folgere daraus, dass für ein maximales Ideal in einem noetherschen kommutativen Ring die Isomorphie für jedes gilt.