Kommutative Ringtheorie/Polynome/X^a-1 teilt X^ab-1/Primfaktoren von 2^(30)-1/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

$X^n-1={\left(X^b\right)}^a-1=(X^b-1)({\left(X^b\right)}^{a-1}+{\left(X^b\right)}^{a-2}+\cdots +{\left(X^b\right)}^2+X^b+1)$

und daher ist $X^b-1$ (und ebenso $X^a-1$) ein Teiler von $X^n-1$.

b) Dies ist nicht der Fall. Für

$n=8=4\cdot 2$

ist

$X^8-1=(X^4-1)(X^4+1).$

Das Polynom $X^4+1$ hat keine reelle Nullstelle und ist deshalb kein Vielfaches von $X^2-1$. Daher ist $(X^4-1)(X^2-1)$ kein Teiler von $X^8-1$.

c) Da $2,3,5$ Teiler von $30$ sind, ergibt sich aus Teil a), dass $2^2-1=3,2^3-1=7$ und  $2^5-1=31$ 

Teiler von $2^{30}-1$ sind. Daher sind $3,7,31$ Primteiler von $2^{30}-1$.

Zur gelösten Aufgabe