Kommutative Ringtheorie/Polynome/X^a-1 teilt X^ab-1/Primfaktoren von 2^(30)-1/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}X^{n}-1={\left(X^{b}\right)}^{a}-1={\left(X^{b}-1\right)}{\left({\left(X^{b}\right)}^{a-1}+{\left(X^{b}\right)}^{a-2}+\cdots +{\left(X^{b}\right)}^{2}+X^{b}+1\right)}\,$

und daher ist ${}X^{b}-1$ (und ebenso ${}X^{a}-1$) ein Teiler von ${}X^{n}-1$.

b) Dies ist nicht der Fall. Für

${}n=8=4\cdot 2\,$

ist

${}X^{8}-1=(X^{4}-1)(X^{4}+1)\,.$

Das Polynom ${}X^{4}+1$ hat keine reelle Nullstelle und ist deshalb kein Vielfaches von ${}X^{2}-1$. Daher ist ${}(X^{4}-1)(X^{2}-1)$ kein Teiler von ${}X^{8}-1$.

c) Da ${}2,3,5$ Teiler von ${}30$ sind, ergibt sich aus Teil a), dass ${}2^{2}-1=3,\,2^{3}-1=7$ und ${}2^{5}-1=31$ Teiler von ${}2^{30}-1$ sind. Daher sind ${}3,7,31$ Primteiler von ${}2^{30}-1$.

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