Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}I:=\varphi ^{-1}(0)\,.$

Wegen  ${}\varphi (0)=0$.  ist  ${}0\in I$.  Es seien  ${}a,b\in I$.  Das bedeutet ${}\varphi (a)=0$ und ${}\varphi (b)=0$. Dann ist

${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)=0+0=0\,$

und daher  ${}a+b\in I$. 

Es sei nun ${}a\in I$ und ${}r\in R$ beliebig. Dann ist

${}\varphi (ra)=\varphi (r)\varphi (a)=\varphi (r)\cdot 0=0\,,$

also ist  ${}ra\in I$. 

Zur bewiesenen Aussage