Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeit/Hauptidealcharakterisierung und Einheiten/Fakt

Sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a,b\in R$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Element ${}a$ ist ein Teiler von ${}b$ (also ${}a{|}b$), genau dann, wenn ${}(b)\subseteq (a)$.
2. ${}a$ ist eine Einheit genau dann, wenn ${}(a)=R=(1)$.
3. Jede Einheit teilt jedes Element.
4. Teilt ${}a$ eine Einheit, so ist ${}a$ selbst eine Einheit.

Einen Beweis erstellen