Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeit/Hauptidealcharakterisierung und Einheiten/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}a,b\in R$.  Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Element ${}a$ ist ein Teiler von ${}b$ (also ${}a{|}b$), genau dann, wenn  ${}(b)\subseteq (a)$. 
2. ${}a$ ist eine Einheit genau dann, wenn  ${}(a)=R=(1)$. 
3. Jede Einheit teilt jedes Element.
4. Teilt ${}a$ eine Einheit, so ist ${}a$ selbst eine Einheit.

Einen Beweis erstellen