Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir machen eine Doppelinduktion nach und nach . D.h. wir beweisen die Aussage für jedes feste durch Induktion nach (innere Induktion) und erhöhen dann in einem eigenen Induktionsdurchgang (äußere Induktion). Bei ist nichts zu zeigen, da dann die Summen links und rechts leer sind, also gleich . Sei also , so dass der linke Faktor einfach eine fixierte Zahl ist. Wir wollen die Aussage in dieser Situation für beliebiges zeigen. Bei ist die Aussage klar. Sei die Aussage nun für ein

schon bewiesen. Dann ist

nach dem Distributivgesetz und mit der Induktionsvoraussetzung folgt die Aussage. Sei die Aussage nun für ein festes und jedes bewiesen. Dann ist wieder mit dem Distributivgesetz und der Induktionsvoraussetzung

Zur bewiesenen Aussage