Kommutativer Halbring/Multinomialsatz/Fakt/Beweis

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Beweis

Bei einem Produkt von Summen in einem kommutativen Halbring muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. Betrachten wir also

mit Faktoren. In jedem Faktor wird jeweils ein Summand ausgewählt, dies ergibt stets ein Produkt der Form mit

Dabei ist die Anzahl, wie oft ausgewählt wurde. Somit ist die Gesamtpotenz eine Summe mit den Summanden , und wir müssen uns fragen, wie viele Möglichkeiten es gibt, -fach aus der Menge Elemente zu ziehen, derart, dass die Zahl genau -fach gezogen wird. Die Anzahl dieser Möglichkeiten wird aber durch die Multinomialkoeffizienten beschrieben.