Kommutativer Ring/Aufblasung/Modul/Zeilendarstellung/Bemerkung

Es sei

$R\stackrel{a_i}{⟶}{R}^n⟶M⟶0$

eine Darstellung. Es sei  $a_i\in J^{{\alpha }_i}$,  wobei die ${\alpha }_i$ nicht eindeutig bestimmt sind. Jedenfalls gilt $a_i{U}^{\alpha }$ zur Reesalgebra $R$. Dazu gehört die homogene Darstellung

$A\stackrel{a_i{T}^{{\alpha }_i}}{⟶}\underset{i}{⨁}A({\alpha }_i)⟶M^{\alpha }⟶0$

und dazu die Darstellung auf der Aufblasung. Bei  $\alpha =0$  handelt es sich um das Pullback der Sequenz nach $A$ bzw. nach $\tilde{X}$. Auf  $U=D(J)$  ergibt sich stets der gleiche Modul. Wir betrachten die Darstellung auf $D_{+}(xT)$. Es geht um den Kokern von

$(A_{xT}{)}_0\stackrel{a_i{T}^{{\alpha }_i}}{⟶}⨁(A_{xT}{)}_{{\alpha }_i}.$

Hierbei kann man $a_i{T}^{{\alpha }_i}$ als

$a_i{T}^{{\alpha }_i}=\frac{a_i}{x^{{\alpha }_i}}{x}^{{\alpha }_i}{T}^{{\alpha }_i}=\frac{a_i{T}^{{\alpha }_i}}{x^{{\alpha }_i}{T}^{{\alpha }_i}}{x}^{{\alpha }_i}{T}^{{\alpha }_i}$

realisieren, wobei rechts der Erzeuger $x^{{\alpha }_i}{T}^{{\alpha }_i}$ der Stufe zu ${\alpha }_i$ und links ein Element der nullten Stufe steht. Wenn man mit diesem Grundring

$B={\left(A_{xT}\right)}_0$

und diesem Erzeuger arbeitet, so steht hier

$B\stackrel{\frac{a_i}{x^{{\alpha }_i}}}{⟶}{B}^n.$

Der Kokern hängt auch davon ab, ob die $\frac{a_1}{x^{{\alpha }_1}},\dots ,\frac{a_n}{x^{{\alpha }_n}}$ einen gemeinsamen Teiler besitzen. Wenn  $a_i\in J^{{\alpha }_i+1}$  ist, so gehört auch $\frac{a_i}{x^{{\alpha }_i+1}}$ zu $B$ und dann gilt eben

$\frac{a_i}{x^{{\alpha }_i}}=x\cdot \frac{a_i}{x^{{\alpha }_i+1}}.$

Sei  $\alpha \le \beta$  mit  $a_i\in J^{{\beta }_i}$. 

$B\stackrel{\frac{a_1}{x^{{\alpha }_1}},\dots ,\frac{a_n}{x^{{\alpha }_n}}}{⟶}{B}^n⟶M^{\alpha }⟶0$

$B\stackrel{\frac{a_1}{x^{{\beta }_1}},\dots ,\frac{a_n}{x^{{\beta }_n}}}{⟶}{B}^n⟶M^{\beta }⟶0.$

Man hat also insgesamt die Situtation

$\begin{array}{cccc}B& \stackrel{c_1,\dots ,c_n}{⟶}& B^n& \\ Id\downarrow & & \downarrow x_1^{{\gamma }_1},\dots ,x_n^{{\gamma }_n}& \\ B& \stackrel{x_1^{{\gamma }_1}{c}_1,\dots ,x_n^{{\gamma }_n}{c}_n}{⟶}& B^n& \end{array}$

Dies induziert einen Homomorphismus $M^{\beta }\to M^{\alpha }$ mit $[e_i]\mapsto [x^{{\gamma }_i}{e}_i]$. Wenn die ${\gamma }_i$ alle positiv sind, so gibt es auch ein umgekehrte Abbildung, die die $x$-Torsion annulliert.