Kommutativer Ring/Aufblasung/Modul/Zeilendarstellung/Bemerkung

Es sei

$R{\stackrel {a_{i}}{\longrightarrow }}R^{n}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

eine Darstellung. Es sei ${}a_{i}\in J^{\alpha _{i}}$, wobei die ${}\alpha _{i}$ nicht eindeutig bestimmt sind. Jedenfalls gilt ${}a_{i}U^{\alpha }$ zur Reesalgebra ${}R$. Dazu gehört die homogene Darstellung

$A{\stackrel {a_{i}T^{\alpha _{i}}}{\longrightarrow }}\bigoplus _{i}A(\alpha _{i})\longrightarrow M^{\alpha }\longrightarrow 0$

und dazu die Darstellung auf der Aufblasung. Bei ${}\alpha =0$ handelt es sich um das Pullback der Sequenz nach ${}A$ bzw. nach ${}{\tilde {X}}$. Auf ${}U=D(J)$ ergibt sich stets der gleiche Modul. Wir betrachten die Darstellung auf ${}D_{+}(xT)$. Es geht um den Kokern von

$(A_{xT})_{0}{\stackrel {a_{i}T^{\alpha _{i}}}{\longrightarrow }}\bigoplus (A_{xT})_{\alpha _{i}}.$

Hierbei kann man ${}a_{i}T^{\alpha _{i}}$ als

${}a_{i}T^{\alpha _{i}}={\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}}}}x^{\alpha _{i}}T^{\alpha _{i}}={\frac {a_{i}T^{\alpha _{i}}}{x^{\alpha _{i}}T^{\alpha _{i}}}}x^{\alpha _{i}}T^{\alpha _{i}}\,$

realisieren, wobei rechts der Erzeuger ${}x^{\alpha _{i}}T^{\alpha _{i}}$ der Stufe zu ${}\alpha _{i}$ und links ein Element der nullten Stufe steht. Wenn man mit diesem Grundring

${}B={\left(A_{xT}\right)}_{0}\,$

und diesem Erzeuger arbeitet, so steht hier

$B{\stackrel {\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}}}}{\longrightarrow }}B^{n}.$

Der Kokern hängt auch davon ab, ob die ${}{\frac {a_{1}}{x^{\alpha _{1}}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{x^{\alpha _{n}}}}$ einen gemeinsamen Teiler besitzen. Wenn ${}a_{i}\in J^{\alpha _{i}+1}$ ist, so gehört auch ${}{\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}+1}}}$ zu ${}B$ und dann gilt eben

${}{\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}}}}=x\cdot {\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}+1}}}\,.$

Sei ${}\alpha \leq \beta$ mit ${}a_{i}\in J^{\beta _{i}}$.

$B{\stackrel {{\frac {a_{1}}{x^{\alpha _{1}}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{x^{\alpha _{n}}}}}{\longrightarrow }}B^{n}\longrightarrow M^{\alpha }\longrightarrow 0$

$B{\stackrel {{\frac {a_{1}}{x^{\beta _{1}}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{x^{\beta _{n}}}}}{\longrightarrow }}B^{n}\longrightarrow M^{\beta }\longrightarrow 0.$

Man hat also insgesamt die Situtation

${\begin{matrix}B&{\stackrel {c_{1},\ldots ,c_{n}}{\longrightarrow }}&B^{n}&\\\!\!\!\!\!Id\downarrow &&\downarrow x_{1}^{\gamma _{1}},\ldots ,x_{n}^{\gamma _{n}}\!\!\!\!\!&\\B&{\stackrel {x_{1}^{\gamma _{1}}c_{1},\ldots ,x_{n}^{\gamma _{n}}c_{n}}{\longrightarrow }}&B^{n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

Dies induziert einen Homomorphismus ${}M^{\beta }\rightarrow M^{\alpha }$ mit ${}[e_{i}]\mapsto [x^{\gamma _{i}}e_{i}]$. Wenn die ${}\gamma _{i}$ alle positiv sind, so gibt es auch ein umgekehrte Abbildung, die die ${}x$-Torsion annulliert.