Kommutativer Ring/Ganze Zahlen/Beziehungen/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es seien $k,m,n$ ganze Zahlen und  $x,y\in R$.  Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu  $n\in \mathbb{N}$  ist $nx$ (also die $n$-fache Summe von $x$ mit sich selbst) gleich $(1+\cdots +1)\cdot x$, wobei links die $n$-fache Summe der  $1\in R$  mit sich selbst steht.
2. Zu  $n\in \mathbb{N}$  ist $-n$ (also die $n$-fache Summe des Negativen von $1$ mit sich selbst) gleich dem Negativen (in $R$) von  $n=1+\cdots +1$. 
3. Es ist

   $(m+k)x=mx+kx.$

4. Es ist

   $k(x+y)=kx+ky.$

5. Es ist

   $(km)x=k(mx).$

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