Kommutativer Ring/Gruppenoperation/Differentialoperatoren/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}E\colon S\rightarrow S$ ein invarianter Differentialoperator. Wir müssen zunächst zeigen, dass das Bild unter ${}E$ des Unterringes ${}R$ wieder in ${}R$ liegt. Es sei hierzu ${}r\in R$. Wegen der Invarianz des Operators und der Invarianz des Elementes ist

${}E(r)={\left(\varphi \circ E\circ \varphi ^{-1}\right)}(r)={\left(\varphi \circ E\right)}{\left(\varphi ^{-1}(r)\right)}=\varphi (E(r))\,$

für alle ${}\varphi \in G$. Daher ist ${}E(r)$ invariant. Die ${}K$-Linearität ist klar. Dass es sich um einen Differentialoperator handelt, ergibt sich durch Induktion über die Ordnung des Operators, wobei man direkt die induktive Definition des Operators im Oberring verwendet.

Zur bewiesenen Aussage