Kommutativer Ring/Noethersch/Lokal frei/Projektiv/Fakt/Beweis

Beweis

Die eine Richtung folgt direkt aus Fakt unter Berücksichtigung von Aufgabe. Zum Beweis der Umkehrung sei ${}p\colon L\rightarrow M$ ein surjektiver Modulhomomorphismus mit einem endlich erzeugten freien ${}R$-Modul ${}L$. Es ist zu zeigen, dass es einen Homomorphismus ${}i\colon M\rightarrow L$ mit ${}p\circ i=\operatorname {Id} _{M}$ gibt. Dies ist insbesondere dann gesichert, wenn man zeigen kann, dass der natürliche Homomorphismus

$\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,L\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(M,M\right)},\,\varphi \longmapsto p\circ \varphi ,$

surjektiv ist, da ja dann insbesondere die Identität getroffen wird. Nach Fakt kann man die Surjektivität lokal testen. Für die Homomorphismenmoduln gilt unter den gegebenen Endlichkeitsvoraussetzungen

${}{\left(\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,L\right)}\right)}_{\mathfrak {p}}=\operatorname {Hom} _{R_{\mathfrak {p}}}{\left(M_{\mathfrak {p}},L_{\mathfrak {p}}\right)}\,.$

Die Surjektivität von

$\operatorname {Hom} _{R_{\mathfrak {p}}}{\left(M_{\mathfrak {p}},L_{\mathfrak {p}}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R_{\mathfrak {p}}}{\left(M_{\mathfrak {p}},M_{\mathfrak {p}}\right)}$

folgt aber für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ aus der Freiheit von ${}M_{\mathfrak {p}}$ und Fakt.

Zur bewiesenen Aussage