Beweis
Die eine Richtung folgt direkt aus
Fakt
unter Berücksichtigung von
Aufgabe.
Zum Beweis der Umkehrung sei
ein surjektiver Modulhomomorphismus mit einem endlich erzeugten freien
-Modul
. Es ist zu zeigen, dass es einen Homomorphismus
mit
gibt. Dies ist insbesondere dann gesichert, wenn man zeigen kann, dass der natürliche Homomorphismus
-
surjektiv ist, da ja dann insbesondere die Identität getroffen wird. Nach
Fakt
kann man die Surjektivität lokal testen. Für die Homomorphismenmoduln gilt unter den gegebenen Endlichkeitsvoraussetzungen
-
![{\displaystyle {}{\left(\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,L\right)}\right)}_{\mathfrak {p}}=\operatorname {Hom} _{R_{\mathfrak {p}}}{\left(M_{\mathfrak {p}},L_{\mathfrak {p}}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026877896e2289cda057f4e4b596debe8dd4fb3a)
Die Surjektivität von
-
folgt aber für jedes Primideal
aus der Freiheit von
und
Fakt.