Kommutativer Ring/Noethersch/Lokal frei/Projektiv/Fakt/Beweis

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Beweis

Die eine Richtung folgt direkt aus Fakt unter Berücksichtigung von Aufgabe. Zum Beweis der Umkehrung sei ein surjektiver Modulhomomorphismus mit einem endlich erzeugten freien -Modul . Es ist zu zeigen, dass es einen Homomorphismus mit gibt. Dies ist insbesondere dann gesichert, wenn man zeigen kann, dass der natürliche Homomorphismus

surjektiv ist, da ja dann insbesondere die Identität getroffen wird. Nach Fakt kann man die Surjektivität lokal testen. Für die Homomorphismenmoduln gilt unter den gegebenen Endlichkeitsvoraussetzungen

Die Surjektivität von

folgt aber für jedes Primideal aus der Freiheit von und Fakt.

Zur bewiesenen Aussage