Kommutativer Ring/Relative Situation/F-Signatur/Bemerkung

Es sei ${}R$ eine endlich erzeugte ${}\mathbb {Z}$-Algebra, also

${}R=\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,,$

der Charakteristik ${}0$. Zu jeder Primzahl ${}p$ erhält man einerseits die Charakteristik ${}p$ Version des Ringes

${}R_{p}=R\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {Z} /(p)[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,,$

wobei die Erzeuger des Ideals jeweils modulo ${}p$ zu interpretieren sind (${}p$ ist ein Index, nicht die Nenneraufnahme an ${}p$). Andererseits gibt es die Charakteristik ${}0$ Version, nämlich

${}R_{\mathbb {Q} }=R\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,.$

Es liegt also eine Familie

$\operatorname {Spec} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spec} {\left(\mathbb {Z} \right)}$

vor und die Fasern sind die Spektra der angegebenen Ringe. Wenn man endlich viele Primzahlen ausschließt, also ${}\mathbb {Z}$ durch ${}\mathbb {Z} _{f}$ ersetzt, so liegt eine flache Familie vor und man erwartet, dass viele Eigenschaften in der Familie konstant sind. Dies ist für viele wichtige Begriffe wie regulär, normal, Cohen-Macaulay richtig. Ein großes Problem ist es aber, diejenigen Konzepte, die auf den Frobenius in den einzelnen Fasern positiver Charakteristik Bezug nehmen, einheitlich zu erfassen und in Charakteristik ${}0$ zu interpretieren. Das Hauptproblem ist, dass die Frobeniushomomorphismen in jeder einzelnen Charakteristik definiert sind aber keine sinnvolle Familie bilden. Wie verhält sich beispielsweise die ${}F$-Signatur von ${}R_{p}$, wenn die Charakteristik gegen unendlich läuft. Hier gibt es kein allgemeines konzeptionelles Resultat. Die positiven Resulte sind vom Typ, dass wenn eine bestimmte Art von Ringen vorliegt, etwa Monoidringe oder Invariantenringe, dass dann das Ergebnis konstant ist, da es von sonstigen nicht-Frobenius Invarianten des Ringes abhängt.