Kommutativer Ring/Relative Situation/F-Signatur/Charakteristik 0/Ansätze/Bemerkung

Es gibt im Wesentlichen zwei Ansätze, die ${}F$-Signatur auf Charakteristik ${}0$ zu übertragen.

Man kann versuchen, den Ring ${}R$ über ${}\mathbb {Q}$ (im wesentlichen vom endlichen Typ) über ${}\mathbb {Z}$ zu realisieren und dann die verschiedenen ${}F$-Signaturen in den Modellen in positiver Charakteristik zu bestimmen und die Primzahl gegen unendlich laufen lassen, also

${}\lim _{p\rightarrow \infty }F-\operatorname {Signatur} (R_{p})=?\,$

Die andere Möglichkeit ist, in jeder Charakteristik nach einer Familie ${}M_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, von ${}R$-Moduln zu suchen und die zugehörigen Quotienten aus freiem Rang und Rang zu studieren. Wenn man sich an denjenigen Moduln orientiert, deren Freiheit die Regularität bzw. Glattheit charakterisieren, so gelangt man dazu, daraus abgeleitete Familien zu studieren, wie

$\operatorname {Sym} ^{n}(\operatorname {Syz} _{d-1}),\,n\in \mathbb {N} ,{\text{ oder Tensorprodukte oder die Biduale davon}}$

$\operatorname {Sym} ^{n}(\operatorname {\Omega _{R{|}K}} ),\,n\in \mathbb {N} .$

Dieser Ansatz wurde von Brenner/Caminata verfolgt. Ersteres ist auch in gemischter Charakteristik definierbar, im letzteren Fall ist die direkte Summe davon die Tangentialalgebra des Ringes (das Spektrum davon ist das Tangentialbündel. Allerdings gibt es im singulären Fall mehrere Möglichkeiten, dieses zu definieren).