Beweis
Es ist
und
,
da jedes Primideal die
und kein Primideal die
enthält.
Zu einer beliebigen Familie
,
,
aus Teilmengen
ist
-

Dabei ist die Inklusion
klar, da
-

gilt und da aus
stets
folgt. Für die andere Inklusion sei
.
D.h. es gibt ein
mit
.
Somit gibt es ein
mit
und daher
für dieses
.
Zu einer endlichen Familie
aus Teilmengen
ist
-

Dabei bezeichnet
die Menge aller Produkte
mit
.
Hierbei ist die Inklusion
klar. Für die umgekehrte Inklusion sei
für alle
vorausgesetzt. Das bedeutet, dass es
mit
gibt. Aufgrund der Primidealeigenschaft ist dann
,
also
.