Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Ist Topologie/Fakt/Beweis

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Beweis

Es ist und , da jedes Primideal die und kein Primideal die enthält.

Zu einer beliebigen Familie , , aus Teilmengen ist

Dabei ist die Inklusion klar, da gilt und da aus stets folgt. Für die andere Inklusion sei . D.h. es gibt ein mit . Somit gibt es ein mit und daher für dieses .

Zu einer endlichen Familie aus Teilmengen ist

Dabei bezeichnet die Menge aller Produkte mit . Hierbei ist die Inklusion klar. Für die umgekehrte Inklusion sei für alle vorausgesetzt. Das bedeutet, dass es mit gibt. Aufgrund der Primidealeigenschaft ist dann , also .

Zur bewiesenen Aussage