Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Ist Topologie/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist ${}D(0)=\emptyset$ und ${}D(1)=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, da jedes Primideal die ${}0$ und kein Primideal die ${}1$ enthält.

Zu einer beliebigen Familie ${}T_{i}$, ${}i\in I$, aus Teilmengen ${}T_{i}\subseteq R$ ist

${}\bigcup _{i\in I}D(T_{i})=D{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}\,.$

Dabei ist die Inklusion ${}\subseteq$ klar, da ${}T_{i}\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i}$ gilt und da aus ${}S\subseteq T$ stets ${}D(S)\subseteq D(T)$ folgt. Für die andere Inklusion sei ${}{\mathfrak {p}}\in D{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}$. D.h. es gibt ein ${}f\in \bigcup _{i\in I}T_{i}$ mit ${}f\not \in {\mathfrak {p}}$. Somit gibt es ein ${}i\in I$ mit ${}f\in T_{i}$ und daher ${}{\mathfrak {p}}\in D(T_{i})$ für dieses ${}i$.

Zu einer endlichen Familie ${}T_{1},\ldots ,T_{n}$ aus Teilmengen ${}T_{i}\subseteq R$ ist

${}\bigcap _{i=1}^{n}D(T_{i})=D(T_{1}\cdots T_{n})\,.$

Dabei bezeichnet ${}T_{1}\cdots T_{n}$ die Menge aller Produkte ${}f_{1}\cdots f_{n}$ mit ${}f_{i}\in T_{i}$. Hierbei ist die Inklusion ${}\supseteq$ klar. Für die umgekehrte Inklusion sei ${}{\mathfrak {p}}\in D(T_{i})$ für alle ${}i=1,\ldots ,n$ vorausgesetzt. Das bedeutet, dass es ${}f_{i}\in T_{i}$ mit ${}f_{i}\not \in {\mathfrak {p}}$ gibt. Aufgrund der Primidealeigenschaft ist dann ${}f_{1}\cdots f_{n}\not \in {\mathfrak {p}}$, also ${}{\mathfrak {p}}\in D(T_{1}\cdots T_{n})$.

Zur bewiesenen Aussage