Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Ist Topologie/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist  ${}D(0)=\emptyset$  und  ${}D(1)=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$,  da jedes Primideal die ${}0$ und kein Primideal die ${}1$ enthält.

Zu einer beliebigen Familie ${}T_{i}$, ${}i\in I$, aus Teilmengen  ${}T_{i}\subseteq R$  ist

${}\bigcup _{i\in I}D(T_{i})=D{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}\,.$

Dabei ist die Inklusion ${}\subseteq$ klar, da

${}T_{i}\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i}\,$

gilt und da aus  ${}S\subseteq T$  stets  ${}D(S)\subseteq D(T)$  folgt. Für die andere Inklusion sei  ${}{\mathfrak {p}}\in D{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}$.  D.h. es gibt ein  ${}f\in \bigcup _{i\in I}T_{i}$  mit  ${}f\notin {\mathfrak {p}}$.  Somit gibt es ein  ${}i\in I$  mit  ${}f\in T_{i}$  und daher  ${}{\mathfrak {p}}\in D(T_{i})$  für dieses ${}i$.

Zu einer endlichen Familie ${}T_{1},\ldots ,T_{n}$ aus Teilmengen  ${}T_{i}\subseteq R$  ist

${}\bigcap _{i=1}^{n}D(T_{i})=D(T_{1}\cdots T_{n})\,.$

Dabei bezeichnet ${}T_{1}\cdots T_{n}$ die Menge aller Produkte ${}f_{1}\cdots f_{n}$ mit  ${}f_{i}\in T_{i}$.  Hierbei ist die Inklusion ${}\supseteq$ klar. Für die umgekehrte Inklusion sei  ${}{\mathfrak {p}}\in D(T_{i})$  für alle  ${}i=1,\ldots ,n$  vorausgesetzt. Das bedeutet, dass es  ${}f_{i}\in T_{i}$  mit  ${}f_{i}\notin {\mathfrak {p}}$  gibt. Aufgrund der Primidealeigenschaft ist dann  ${}f_{1}\cdots f_{n}\notin {\mathfrak {p}}$,  also  ${}{\mathfrak {p}}\in D(T_{1}\cdots T_{n})$. 

Zur bewiesenen Aussage