Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(2x+2y=4x+4y)/Idempotenz/Beispiel

Das Binoid ${}M={\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/(2(x+y)=4(x+y))$ besitzt das nichttriviale kombinatorische idempotente Element ${}e=2(x+y)$. Wenn man dieses annulliert, so erhält man das nichtreduzierte Binoid

${\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/2(x+y),$

also nach Reduktion ein Achsenkreuz. Wenn man ${}e$ gleich der Einheit ${}0$ setzt, so erhält man das Gruppenbinoid

${\mathsf {F}}{\mathsf {C}}(x,y)/2(x+y)=0,$

das über die Zuordnung

$x\mapsto (1,1),\,y\mapsto (-1,1),$

zur Gruppe ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /(2)$ gehört. Algebraisch liegt die Gleichung

${}(XY)^{2}-1=(XY-1)(XY+1)=0\,$

vor, das reell-geometrische Objekt besteht aus vier reellen Komponenten.