Beweis
Zu jedem Punkt
gibt es eine offene Kartenumgebung
und eine Kartenabbildung
-
mit
offen und so, dass
ist mit stetig und positiv. Wir finden auch eine offene Umgebung
,
die homöomorph zu einem offenen Ball
ist, wobei man auch annehmen kann, dass der Abschluss des Balles ganz in liegt. Der abgeschlossene Ball ist abgeschlossen und beschränkt, daher ist die stetige Funktion darauf und somit auch auf beschränkt. Es folgt, dass endlich ist, wobei eine offene Umgebung von ist.
Diese offenen Mengen
überdecken . Wegen der Kompaktheit gibt es eine endliche Überdeckung
-
mit
-
Wegen der Positivität gilt somit
-