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Kompakte Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Endlich/Fakt/Beweis

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Beweis

Zu jedem Punkt gibt es eine offene Kartenumgebung und eine Kartenabbildung

mit offen und so, dass ist mit stetig und positiv. Wir finden auch eine offene Umgebung , die homöomorph zu einem offenen Ball ist, wobei man auch annehmen kann, dass der Abschluss des Balles ganz in liegt. Der abgeschlossene Ball ist abgeschlossen und beschränkt, daher ist die stetige Funktion darauf und somit auch auf beschränkt. Es folgt, dass endlich ist, wobei eine offene Umgebung von ist.

Diese offenen Mengen überdecken . Wegen der Kompaktheit gibt es eine endliche Überdeckung

mit

Wegen der Positivität gilt somit