Kompakter Raum/Abgeschlossene Teilmenge/Kompakt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}\,$

eine Überdeckung mit offenen Teilmenge  ${}V_{i}\subseteq Y$.  Dies bedeutet, dass es offene Mengen  ${}U_{i}\subseteq X$  gibt mit  ${}V_{i}=Y\cap U_{i}$.  Daher ist

${}Y\subseteq \bigcup _{i\in I}U_{i}\,.$

Wegen der Abgeschlossenheit von ${}Y$ in ${}X$ ist ${}X\setminus Y$ offen und daher ist

${}X=Y\cup (X\setminus Y)=\bigcup _{i\in I}U_{i}\cup (X\setminus Y)\,$

eine offene Überdeckung von ${}X$. Wegen der Kompaktheit von ${}X$ gibt es eine endliche Teilüberdeckung

${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\cup (X\setminus Y)\,.$

Dies bedeutet wiederum

${}Y=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,.$

Zur bewiesenen Aussage