Kompaktes Intervall/Stetigkeit und Zeichenbarkeit/Aufgabe

Es sei ${}[a,b]$ ein reelles Intervall und

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

eine Funktion. Zeige, dass ${}f$ genau dann stetig ist, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es eine Unterteilung

$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{k-1}<x_{k}=b$

derart, dass die lineare Interpolation ${}g$ (zu dieser Unterteilung und zu ${}f$) die Eigenschaft

$\vert {f(x)-g(x)}\vert \leq \epsilon {\text{ für alle }}x\in [a,b]$

erfüllt.

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