Komplettierung eines lokalen Ringes/Begriff und kanonische Abbildung/Aufgabe

Betrachte zu einem lokalen Ring ${}R$ mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ das Diagramm

$\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}^{4}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}^{3}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}.$

Dabei sind die Abbildungen die kanonischen Projektionen ${}\varphi _{n}:R/{\mathfrak {m}}^{n+1}\rightarrow R/{\mathfrak {m}}^{n}$, die durch die Idealinklusionen ${}{\mathfrak {m}}^{n+1}\subseteq {\mathfrak {m}}^{n}$ induziert werden. Eine Folge von Elementen

$a_{n}\in R/{\mathfrak {m}}^{n}$

heißt verträglich, wenn ${}\varphi _{n}(a_{n+1})=a_{n}$ für alle ${}n$ gilt. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller verträglichen Elemente (diesen Ring nennt man die Komplettierung von ${}R$.) Zeige ferner, dass es einen kanonischen Ringhomomorphismus von ${}R$ in die Komplettierung gibt.

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