Komplex-projektive Gerade/Divisorenklassengruppe/Z/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen, dass jeder Divisor vom Grad ${}0$ ein Hauptdivisor ist. Es sei also ${}\sum _{x\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}n_{x}\cdot x$ ein Divisor mit ${}\sum _{x\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}n_{x}=0$. Wir können annehmen, dass die Ordnung am unendlich fernen Punkt ${}\infty$ gleich ${}0$ ist, so dass die relevanten Punkte sich in

${}{\mathbb {C} }\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\,$

befinden. Wir trennen nach Nullstellen- und Polstellendivisor und schreiben

${}\sum _{x\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}n_{x}\cdot x=\sum _{x\in A}r_{x}\cdot x-\sum _{x\in B}s_{x}\cdot x\,$

mit disjunkten endlichen Mengen ${}A$ und ${}B$ und mit ${}r_{x},s_{x}\geq 1$, wobei wegen der Gradvoraussetzung die beiden Teildivisoren den gleichen Grad besitzen. Wir betrachten die rationale Funktion

${\frac {\prod _{x\in A}(T-x)^{r_{x}}}{\prod _{x\in B}(T-x)^{s_{x}}}}.$

Diese besitzt in den Punkten aus ${}{\mathbb {C} }$ die vorgegebenen Ordnungen. Sie kann als meromorphe Funktion auf der gesamten projektiven Geraden aufgefasst werden und hat im unendlich fernen Punkt wegen der Gleichgradigkeit von Zähler und Nenner den Wert ${}1$ als Limes und somit dort die Ordnung ${}0$.

Zur bewiesenen Aussage