Komplexe Funktion/Exponentialgleichung/Ableitung/Aufgabe/Lösung

Bei ${}f(0)=0$ ist ${}f(z)=f(z+0)=f(z)f(0)=0$, so dass die Nullfunktion vorliegt, die die angegebene Ableitungseigenschaft (mit einem beliebigen ${}\lambda$) erfüllt. Es sei also ${}f(0)\neq 0$. Dann ist ${}f(0)=1$ wegen ${}f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)$. Der Differenzenquotient ist

${}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}={\frac {f(z)f(h)-f(z)}{h}}=f(z){\frac {f(h)-1}{h}}=f(z){\frac {f(h)-f(0)}{h}}\,.$

Der rechte Faktor ist der Differenzenquotient im Nullpunkt. Dieser konvergiert nach Voraussetzung für ${}h\rightarrow 0$ gegen ${}f'(0)$. Also konvergiert der Differenzenquotient gegen ${}f(z)f'(0)$ und die Ableitungseigenschaft ist mit ${}\lambda =f'(0)$ erfüllt.

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