Komplexe Invertierung/Ableitung/Reell und komplex/Aufgabe/Lösung

1. Die Ableitung ist

   ${}f'(z)=-{\frac {1}{z^{2}}}\,.$

2. In reellen Koordinaten ist die Abbildung durch

   $z=x+{\mathrm {i} }y\longmapsto {\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\mathrm {i} }{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$

   gegeben.

3. Das totale Differential der Abbildung aus (2) ist

   ${}{\begin{pmatrix}{\frac {(x^{2}+y^{2})-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&{\frac {-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\\{\frac {2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&{\frac {-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\\{\frac {2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&{\frac {-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\end{pmatrix}}\,.$

4. Es ist für ${}z=x+{\mathrm {i} }y$

   ${}{\begin{aligned}f'(z)&=-{\frac {1}{z^{2}}}\\&=-{\frac {1}{\left(x+{\mathrm {i} }y\right)}}\cdot {\frac {1}{\left(x+{\mathrm {i} }y\right)}}\\&=-{\frac {\left(x-{\mathrm {i} }y\right)}{x^{2}+y^{2}}}\cdot {\frac {\left(x-{\mathrm {i} }y\right)}{x^{2}+y^{2}}}\\&=-{\frac {{\left(x-{\mathrm {i} }y\right)}^{2}}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}\\&=-{\frac {x^{2}-y^{2}-2{\mathrm {i} }xy}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}\\&={\frac {-x^{2}+y^{2}+2{\mathrm {i} }xy}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}.\end{aligned}}$

   Die Multiplikation mit ${}1$ ist eben diese Zahl, die Multiplikation mit ${}{\mathrm {i} }$ ist

   ${\frac {{\left(-x^{2}+y^{2}\right)}{\mathrm {i} }-2xy}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}.$

   Dies führt zur gleichen Matrix wie in Teil (3).

Zur gelösten Aufgabe