Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Funktion/Kotangentialraum/Maximales Ideal/Fakt/Beweis

Beweis

1. Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Tangentialabbildung nur von einer beliebig kleinen offenen Umgebung abhängt.
2. Die Abbildung ${}d_{P}f$ wird repräsentiert durch ${}\gamma \mapsto (f\circ \gamma )'(0)$. Wenn man ${}f$ mit einem Skalar ${}a\in {\mathbb {C} }$ multipliziert, so ergibt sich die Aussage aus der eindimensionalen Kettenregel.
3. Um die Bijektivität nachzuweisen kann man davon ausgehen, dass ${}M={\mathbb {C} }^{n}$ und ${}P=0$ ist. Seien ${}f,g\in {\mathfrak {m}}_{P}$, d.h. ${}f(P)=g(P)=0$. Nach der Produktregel Fakt gilt für das totale Differential

   ${}d_{P}(fg)=f(P)d_{P}g+g(P)d_{P}f\,.$

   d.h. unter den vorliegenden Voraussetzungen ist das totale Differential die Nullabbildung. Beide Räume haben die komplexe Dimension ${}n$. Zur ${}i$-ten Koordinatenfunktion ${}z_{i}$ ist das totale Differential wegen ${}(dz_{i})(e_{i})=1$ nicht die Nullabbildung, also ist die Gesamtzuordnung injektiv und damit auch surjektiv.

Zur bewiesenen Aussage