Komplexe Matrix/Nicht invertierbar/3/Aufgabe/Lösung

Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ${}\neq 0$ ist. Wir müssen also die Nullstellen der Determinante bestimmen. Die Determinante ist (nach der Regel von Sarrus)

${}-2z^{2}-2z+2-12z-z+z^{2}=-z^{2}-15z+2\,.$

Dies ist gleich ${}0$ genau dann, wenn

$z^{2}+15z-2=0$

ist. Durch quadratisches Ergänzen führt diese Gleichung auf

${}{\left(z+{\frac {15}{2}}\right)}^{2}=2+{\frac {225}{4}}={\frac {233}{4}}\,.$

Daher sind

$z_{1}={\frac {\sqrt {233}}{2}}+{\frac {15}{2}}={\frac {15+{\sqrt {233}}}{2}}\,\,{\text{ und }}\,\,z_{2}=-{\frac {\sqrt {233}}{2}}+{\frac {15}{2}}={\frac {15-{\sqrt {233}}}{2}}$

die beiden einzigen Lösungen der quadratischen Gleichung. Diese zwei reellen Zahlen sind also die einzigen (reellen oder komplexen)

Zahlen, für die die Matrix nicht invertierbar ist.

Zur gelösten Aufgabe