Komplexe Zahlen/17. Potenz/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

1. Zwei komplexe Zahlen gelten als äquivalent, wenn sie unter der Abbildung

   $ℂ⟶ℂ,z⟼z^{17},$

   den gleichen Wert besitzen. In einer solchen Situation liegt stets eine Äquivalenzrelation vor.

2. Da $ℂ$ ein Körper ist, besteht die Äquivalenzklasse zu $0$ allein aus $0$, sie ist also einelementig. Die Äquivalenzklasse zu $1$ besteht aus den $17$ $17$-ten Einheitswurzeln. Für von $0$ verschiedene Zahlen ist

   $z^{17}=w^{17}$

   genau dann, wenn

   ${\left(\frac{w}{z}\right)}^{17}=1,$

   wenn also $w/z$ eine $17$-te Einheitswurzel ist. Somit besteht die Äquivalenzklasse zu  $z\ne 0$  aus der $17$ Elementen $z\zeta$, wobei $\zeta$ die $17$-ten Einheitswurzeln durchläuft.

Zur gelösten Aufgabe