Komplexe Zahlen/Körper/Fakt/Beweis
Erscheinungsbild
Beweis
Die Körpereigenschaften für die komponentenweise definierte Addition sind klar, da die entsprechenden Eigenschaften für gelten. Es ist
somit ist die das neutrale Element der Multiplikation. Die Kommutativität der Multiplikation ist ebenfalls von der Formel her klar. Zum Nachweis der Assoziativität der Multiplikation berechnen wir
Ebenso ist
Wenn
ist, so ist mindestens eine der Zahlen oder von verschieden und damit ist . Somit ist eine komplexe Zahl und es gilt
also besitzt jedes Element ein Inverses bezüglich der Multiplikation. Das Distributivgesetz folgt aus