Komplexe Zahlen/Konjugation/Realteil Imaginärteil/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}z=a+b{\mathrm {i} }$.

1. Ist klar.
2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {z+{\overline {z}}}{2}}&={\frac {a+b{\mathrm {i} }+a-b{\mathrm {i} }}{2}}\\&={\frac {2a}{2}}\\&=a\\&=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}.\end{aligned}}$

3. Es ist

   ${}{\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {a+b{\mathrm {i} }-{\left(a-b{\mathrm {i} }\right)}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {2b{\mathrm {i} }}{2{\mathrm {i} }}}=b=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\,.$

Zur bewiesenen Aussage