Komplexe Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}{\mathbb {C} }$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Die Folge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt

   $\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}+y_{n})=(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n})+(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}).$

2. Die Folge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt

   $\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}\cdot y_{n})=(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n})\cdot (\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}).$

3. Für ${}c\in {\mathbb {C} }$ gilt

   $\lim _{n\rightarrow \infty }cx_{n}=c(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}).$

4. Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}.$

5. Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${}{\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}={\frac {\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}}{x}}.$

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