Komplexe Zahlen/Polarkoordinaten/Winkel naiv/Beispiel

Jede komplexe Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}z\neq 0$, kann man eindeutig schreiben als

${}z=r(\cos \alpha ,\sin \alpha )=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )=r\cos \alpha +(r\sin \alpha ){\mathrm {i} }\,$

mit einer eindeutig bestimmten positiven reellen Zahl ${}r$, nämlich dem Abstand von ${}z$ zum Nullpunkt (also ${}r=\vert {z}\vert$) und einem eindeutig bestimmten Winkel ${}\alpha$ zwischen ${}0$ (einschließlich) und ${}360$ Grad (ausschließlich), der ausgehend von der positiven reellen Achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird. Man spricht von Polarkoordinaten für die komplexen Zahlen.

Polarkoordinaten der reellen Zahlenebene und für komplexe Zahlen unterscheiden sich nicht. Allerdings erlauben Polarkoordinaten eine Neuinterpretation der Multiplikation von komplexen Zahlen: Wegen

${}{\begin{aligned}(r\cos \alpha +{\mathrm {i} }r\sin \alpha )\cdot (s\cos \beta +{\mathrm {i} }s\sin \beta )&=rs(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+{\mathrm {i} }rs(\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta )\\&=rs(\cos(\alpha +\beta )+{\mathrm {i} }\sin(\alpha +\beta ))\,\end{aligned}}$

(dabei wurden im letzten Schritt die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus verwendet) multipliziert man zwei komplexe Zahlen, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Winkel addiert.