Komplexe Zahlen/Potenzierung/Nullstellengebilde/Beispiel

Wir betrachten die holomorphe Funktion ${}a_{0}(z)=z$ auf ${}{\mathbb {C} }$ und dazu das Polynom ${}t^{n}-z$. Das Nullstellengebilde

${}V=V(t^{n}-z)\subseteq {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }\,$

ist überall glatt und steht direkt in einer Bijektion

${\mathbb {C} }\longrightarrow V,\,t\longmapsto (t^{n},t),$

die biholomorph wird, wenn ${}V$ im Sinne von Fakt als eine riemannsche Fläche aufgefasst wird. Die Umkehrabbildung ist die zweite Projektion auf ${}{\mathbb {C} }$. Das unverzweigte Nullstellengebilde ist ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}\cong V\setminus \{0,0\}$.