Komplexe Zahlen/Punktiert/Holomorphe Differentialform zur Invertierung/Wegintegral/Beispiel

Ein wichtiges Standardbeispiel ist die holomorphe Differentialform $\frac{dz}{z}$ auf  $U=ℂ\setminus \{0\}$.  Längs des Einheitskreises mit der trigonometrischen Parametrisierung

$\gamma :[0,2\pi ]⟶ℂ\setminus \{0\},t⟼\cos t+\mathrm{i}\sin t,$

ist

$\begin{array}{cc}{\int }_{\gamma }\frac{dz}{z}& ={\int }_0^{2\pi }\frac{1}{\cos t+\mathrm{i}\sin t}(-\sin t+\mathrm{i}\cos t)dt\\ & =\mathrm{i}{\int }_0^{2\pi }(\cos t-\mathrm{i}\sin t)(\cos t+\mathrm{i}\sin t)dt\\ & =\mathrm{i}{\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}tdt\\ & =\mathrm{i}{\int }_0^{2\pi }1dt\\ & =2\pi \mathrm{i}.\end{array}$