Komplexer Torus/Holomorphe Differentialform/Periodengitter/Fakt

Es sei ${}X$ ein komplexer Torus und ${}\omega$ eine nichttriviale holomorphe Differentialform auf ${}X$.

Dann ist das Bild unter dem natürlichen Gruppenhomomorphismus

$\pi _{1}(X)\cong \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,\gamma \longmapsto \int _{\gamma }\omega ,$

ein Gitter ${}P$ in ${}{\mathbb {C} }$, und ${}X$ ist biholomorph zu ${}{\mathbb {C} }/P$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen