Komplexes Skalarprodukt/Realteil/Skalarprodukt/Aufgabe/Lösung

Wir setzen

${}\Phi (v,w):=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}\,$

und gehen die Axiome für ein Skalarprodukt durch. Es ist für ${}a,b\in \mathbb {R}$ und ${}u,v,w\in V$

${}{\begin{aligned}\Phi (au+bv,w)&=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle au+bv,w\right\rangle \right)}\\&=\operatorname {Re} \,{\left(a\left\langle u,w\right\rangle +b\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&=\operatorname {Re} \,{\left(a\left\langle u,w\right\rangle \right)}+\operatorname {Re} \,{\left(b\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&=a\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle u,w\right\rangle \right)}+b\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&=a\Phi (u,w)+b\Phi (v,w),\end{aligned}}$

da der Realteil einer komplexen Zahl linear bezüglich Multiplikation mit einer reellen Zahl ist. Wegen

${}\Phi (v,w)=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}=\operatorname {Re} \,{\left({\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\right)}=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle w,v\right\rangle \right)}=\Phi (w,v)\,$

ist ${}\Phi$ symmetrisch. Daraus ergibt sich auch die Linearität in der zweiten Komponente aus der Linearität in der ersten Komponente. Ferner ist

${}\Phi (v,v)=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,v\right\rangle \right)}=\left\langle v,v\right\rangle \,,$

da ja ${}\left\langle v,v\right\rangle$ stets reell ist. Somit ergibt sich die positive Definitheit unmittelbar.

Zur gelösten Aufgabe