Kongruente Dreiecke/Längengleich/Fakt/Beweis

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Beweis

Da Verschiebungen und Isometrien die Längen erhalten, ist es klar, dass kongruente Dreiecke längengleich sind. Seien umgekehrt die beiden längengleichen Dreiecke und gegeben, wobei wir nach Umbenennung annehmen können, dass für die Seitenlängen die Beziehung

und ebenso für das zweite Dreieck gilt. Wir können annehmen und durch Verschiebungen erreichen, dass ist. Durch Drehungen am Nullpunkt der beiden Dreiecke können wir erreichen, dass sowohl als auch auf der positiven -Achse liegen. Wegen der Längengleichung ist dann . Die Punkte und haben einerseits zu und andererseits zu den gleichen Abstand, d.h. sie liegen auf den Schnittpunkten von einem Kreis um und einem Kreis um . Da es nur zwei Schnittpunkte gibt, ist entweder oder und lassen sich durch eine Achsenspiegelung an der -Achse ineinander überführen.