Kongruente Zahl/Arithmetische Quadratfolge/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}a,b,c$ die Seiten eines rationalen rechtwinkligen Dreieckes, das den Flächeninhalt ${}n$ realisiert, es ist also

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

und ${}{\frac {ab}{2}}=c^{2}$. Wir setzen

${}q={\frac {c^{2}}{4}}\,,$

was ein Quadrat ist. Ferner sind

${}q-n={\frac {c^{2}}{4}}-{\frac {ab}{2}}={\frac {a^{2}+b^{2}-2ab}{4}}={\frac {(a-b)^{2}}{4}}\,$

und

${}q+n={\frac {c^{2}}{4}}+{\frac {ab}{2}}={\frac {a^{2}+b^{2}+2ab}{4}}={\frac {(a+b)^{2}}{4}}\,$

rationale Quadrate.

Es sei umgekehrt ${}q$ so, dass ${}q-n,q,q+n$ Quadrate sind. Dann sind also ${}a={\sqrt {q+n}}-{\sqrt {q-n}}$, ${}b={\sqrt {q+n}}+{\sqrt {q-n}}$ und ${}c=2{\sqrt {q}}$ rationale Zahlen. Diese erfüllen

${}{\begin{aligned}a^{2}+b^{2}&=({\sqrt {q+n}}-{\sqrt {q-n}})^{2}+({\sqrt {q+n}}+{\sqrt {q-n}})^{2}\\&=q+n-2{\sqrt {q+n}}{\sqrt {q-n}}+q-n+q+n+2{\sqrt {q+n}}{\sqrt {q-n}}+q-n\\&=4q\\&=c^{2}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}ab&={\left({\sqrt {q+n}}-{\sqrt {q-n}}\right)}{\left({\sqrt {q+n}}+{\sqrt {q-n}}\right)}\\&=q+n-(q-n)\\&=2n.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage