Kongruente Zahlen/Ungerade/Tunnell/Anzahlbedingung/Fakt

Es sei ${}n$ eine ungerade quadratfreie natürliche Zahl. Es sei vorausgesetzt, dass die Vermutung von Birch und Swinnerten-Dyer stimmt. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. ${}n$ ist eine kongruente Zahl.
2. Es gilt

   ${\#\left({\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n\right\}}\right)}=2\cdot {\#\left({\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n\right\}}\right)}\,.$

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