Konvergenter Potenzreihenring/Lokal/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist klar, dass ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ ein Ideal ist. Wenn die holomorphe Funktion ${}f$ nicht zu ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ gehört, so ist ${}f(P)\neq 0$ und dann ist ${}f$ auch in einer offenen Umgebung von ${}P$ nullstellenfrei. Dort ist ${}1/f$ eine wohldefinierte holomorphe Funktion und das bedeutet, dass ${}f$ in ${}{\mathcal {O}}_{P}$ eine Einheit ist. Also handelt es sich bei ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ um das einzige maximale Ideal.

Zur bewiesenen Aussage