Kosinus Hyperbolicus/Parabel/Vergleich/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}\cosh x&={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{n}}{n!}}\right)}\\&=\sum _{n=0,\,n{\text{ gerade}}}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\\&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{6}}{720}}+....\end{aligned}}$

Für ${}x=2$ ist dies

${}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{2k}}{(2k)!}}&=1+2+{\frac {16}{24}}+{\frac {64}{720}}+...\\&\leq 1+2+{\frac {16}{24}}+{\frac {64}{720}}{\left(1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+...\right)}\\&\leq 1+2+{\frac {16}{24}}+{\frac {64}{720}}\cdot {\frac {10}{9}}\\&\leq 1+2+{\frac {16}{24}}+{\frac {1}{10}}\\&<4\\&=2^{2}.\end{aligned}}$

Dabei haben wir verwendet, dass sich die weiteren Summanden hinter ${}{\frac {64}{720}}$ durch Multiplikation mit ${}{\frac {4}{7\cdot 8}},{\frac {4}{9\cdot 10}}$ u.s.w. ergeben und daher mit der geometrischen Reihe abgeschätzt werden können.

Zur gelösten Aufgabe