Kreis/Diskrete Gruppe/Lokal konstante Garbe/Überdeckung/Erste Garbenkohomologie/Aufgabe

Es sei ${}G$ eine diskrete topologische Gruppe mit zumindest zwei Elementen ${}a\neq b$. Wir betrachten auf ${}S^{1}$ die exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,G\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,G\right)}/G\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

wobei hier ${}G$ die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in ${}G$, also ${}C^{0}(-,G)$, bezeichnet. Es sei ${}S^{1}=U\cup V$ eine offene Überdeckung des Einheitskreises durch zwei sich überlappende Kreissegmente derart, dass der Durchschnitt ${}U\cap V$ aus zwei disjunkten Kreissegmenten ${}A$ und ${}B$ besteht. Es sei

${}h\in \Gamma {\left(S^{1},\operatorname {Abb} \,{\left(-,G\right)}/G\right)}\,$

ein Schnitt, der auf ${}V$ durch die Nullabbildung ${}0\in \operatorname {Abb} \,{\left(V,G\right)}$ und auf ${}U$ durch eine Abbildung ${}g\in \operatorname {Abb} \,{\left(U,G\right)}$ repräsentiert werde, die auf ${}A$ den konstanten Wert ${}a$ und auf ${}B$ den konstanten Wert ${}b$ besitze. Zeige, dass dieser Schnitt nicht durch ein Element aus ${}\operatorname {Abb} \,{\left(S^{1},G\right)}$ repräsentiert werden kann und dass folglich ${}H^{1}(S^{1},G)\neq 0$ ist.

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