Kreisscheibe/C/Potenzabbildung/Holomorphe Differentialform/Invariant und Rückzug/Beispiel

Wir betrachten die komplexe Potenzierung ${}U\longrightarrow V$, ${}w\longmapsto w^{n}=z$ zwischen Kreisscheiben (oder auf ganz ${}{\mathbb {C} }$). Die holomorphe Differentialform ${}dz$ wird auf ${}dw^{n}=nw^{n-1}dw$ abgebildet, die invariant unter den Multiplikationen ${}w\mapsto \zeta w$ zu einer ${}n$-ten Einheitswurzel ist. Generell entsprechen die holomorphen Differentialformen ${}g(z)dz$ auf ${}V$ den Differentialformen ${}\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}w^{kn-1}dw$ auf ${}U$, und das sind genau die Differentialformen, die invariant unter den Multiplikationen mit ${}n$-ten Einheitswurzeln sind.