Kreisteilungskörper/Q/Kleine n/Beispiel

Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine ${}n$. Bei  ${}n=1$  oder ${}2$ ist der Kreisteilungskörper gleich ${}\mathbb {Q}$. Bei  ${}n=3$  ist

${}X^{3}-1=(X-1){\left(X^{2}+X+1\right)}\,$

und der zweite Faktor zerfällt

${}X^{2}+X+1={\left(X+{\frac {1}{2}}-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}{\left(X+{\frac {1}{2}}+{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}\,.$

Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von  ${}{\sqrt {-3}}={\sqrt {3}}{\mathrm {i} }$  erzeugte Körper, es ist also  ${}K_{3}=\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$  eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen.

Bei  ${}n=4$  ist natürlich

${}{\begin{aligned}X^{4}-1&={\left(X^{2}-1\right)}{\left(X^{2}+1\right)}\\&=(X-1)(X+1){\left(X^{2}+1\right)}\\&=(X-1)(X+1)(X-{\mathrm {i} })(X+{\mathrm {i} }).\end{aligned}}$

Der vierte Kreisteilungskörper ist somit  ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{2}+1)$,  also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$.