Es ist
und
wobei die Beziehung Y 3 = X {\displaystyle {}Y^{3}=X} besteht. Daher ist auch
und somit ist, da Y {\displaystyle {}Y} eine Einheit ist,
Die Elemente des Kählermoduls lassen sich also auf die eindeutige Form
mit a , b , c , d , e , f ∈ Z / ( 3 ) {\displaystyle {}a,b,c,d,e,f\in \mathbb {Z} /(3)}
![{\displaystyle {}R_{3}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1dd72eb3aee0dadbffdea67276a9c368b2d6c08)
![{\displaystyle {}R_{9}=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{6}+Y^{3}+1\right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8399985ac9a92fa4047f3b8c608316765ea17bec)
besteht. Daher ist auch
![{\displaystyle {}R_{9}=R_{3}[Y]/{\left(Y^{3}-X\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b912bc7f9841ef4ee2e5fc3984566973a574f03)
eine Einheit ist,
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\Omega _{R_{9}{|}R_{3}}&=R_{9}/{\left(3Y^{2}\right)}dY\\&=R_{3}[Y]/{\left(Y^{3}-X,3Y^{2}\right)}dY\\&={\left(R_{3}/3R_{3}\right)}[Y]/{\left(Y^{3}-X\right)}dY\\&={\left(\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}\right)}[Y]/{\left(Y^{3}-X\right)}dY.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d0cd650ff44d93a1ccce7e98a73a9397c8652b)
