Es ist R p = Z [ X ] / ( X p − 1 + ⋯ + X 2 + X + 1 ) {\displaystyle {}R_{p}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}} und
Somit ist
Dies ist ein freier Z / ( p r − 1 ) [ X ] / ( X p − 1 + ⋯ + X + 1 ) {\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p^{r-1})[X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X+1\right)}} -Modul vom Rang p r − 1 {\displaystyle {}p^{r-1}} (mit der Basis Y j d Y {\displaystyle {}Y^{j}dY} , j = 0 , 1 , … , p r − 1 − 1 {\displaystyle {}j=0,1,\ldots ,p^{r-1}-1} ) und damit ein freier Z / ( p r ) {\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p^{r})} -Modul vom Rang ( p − 1 ) p r − 1 {\displaystyle {}(p-1)p^{r-1}} (mit der Basis X i Y j d Y {\displaystyle {}X^{i}Y^{j}dY} , j = 0 , 1 , … , p r − 1 − 1 {\displaystyle {}j=0,1,\ldots ,p^{r-1}-1} , i = 0 , 1 , … , p − 2 {\displaystyle {}i=0,1,\ldots ,p-2} ). Seine Anzahl ist somit
![{\displaystyle {}R_{p}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18bdc9140581758f251a840038633fd3206238bc)
und
![{\displaystyle {}R_{p^{r}}=R_{p}[Y]/{\left(Y^{p^{r-1}}-X\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54000ecd0cf9d85ed91d0d0ac09ed107ea56c4d2)
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\Omega _{R_{p^{r}}{|}R_{p}}&=R_{p^{r}}/{\left(p^{r-1}Y^{p^{r-1}-1}\right)}dY\\&=R_{p^{r}}/{\left(p^{r-1}\right)}dY\\&=R_{p}[Y]/{\left(p^{r-1},Y^{p^{r-1}}-X\right)}dY\\&=R_{p}/{\left(p^{r-1}\right)}[Y]/{\left(Y^{p^{r-1}}-X\right)}dY\\&=\mathbb {Z} /(p^{r-1})[X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X+1\right)}[Y]/{\left(Y^{p^{r-1}}-X\right)}dY.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7dbcb71fb4411834055a60f610dcaab05e046fc)
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p^{r-1})[X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X+1\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2df1bec7948cee804570e2de8a0c2b56d7de093)
-Modul vom Rang 
(mit der
Basis
, 
)
und damit ein freier 
-Modul vom Rang 
(mit der
Basis
, , 
).
Seine Anzahl ist somit
