Kubische Gleichung/Eliminiertes 4-Zahlen-Polynom/Bestimme Lösungen /Aufgabe/Lösung

Mit den Notationen der Cardanoschen Formel ist

${}p=-{\frac {4}{3}}\,,$

${}q=-{\frac {38}{27}}\,$

und

${}{\begin{aligned}D&=-4p^{3}-27q^{2}\\&=4{\left({\frac {4}{3}}\right)}^{3}-27{\left({\frac {38}{27}}\right)}^{2}\\&={\frac {256-1444}{27}}\\&=-{\frac {1188}{27}}\\&=-44.\end{aligned}}$

Daher ist

${}{\begin{aligned}u&={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left({\frac {38}{27}}+{\frac {1}{9}}{\sqrt {132}}\right)}}}\\&={\sqrt[{3}]{{\frac {19}{27}}+{\frac {1}{9}}{\sqrt {33}}}}\\&={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\end{aligned}}$

und entsprechend

${}v={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}\,.$

Somit ist

${\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}$

eine reelle Nullstelle des Polynoms.

Zur gelösten Aufgabe