- Wir machen den Ansatz
-
![{\displaystyle {}P=aX^{3}+bX^{2}+cX+d\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de4a41b4a00297f39c877252a930f64fd1583137)
Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
-
![{\displaystyle {}-a+b-c+d=-4\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f664f3496afd39f26c287c1dbbb9f2437d571f51)
-
![{\displaystyle {}d=2\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9cb888e86498cdcc78e83dffc111d81583992d0)
-
![{\displaystyle {}a+b+c+d=2\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20862417593d926cec80b280ec287d90dcd29f3b)
-
![{\displaystyle {}8a+4b+2c+d=3\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb56830a8498613bc33469df3b557c5211e2c493)
Elimination von
führt auf
-
![{\displaystyle {}-a+b-c=-6\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed9df80c1d46a0a64784df662bb2b32e02b97d9)
-
![{\displaystyle {}a+b+c=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61819a2e4cc8aa821bf2df7c08ed27b610622ffe)
-
![{\displaystyle {}8a+4b+2c=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376bb90e4fb0adc0e7de86a5ac26dbd7ac53a1cc)
Addition der ersten beiden Gleichungen führt auf
-
![{\displaystyle {}2b=-6\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdad2f9046ad8b832c256f8e0051598aecff03fc)
also
-
![{\displaystyle {}b=-3\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a85d95fa5fe251fabb95743db4f103e06e749a)
Dies führt auf
-
![{\displaystyle {}a+c=3\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283d35465da68b7bc375a00041cd8ee346d5122a)
und
-
![{\displaystyle {}8a+2c=13\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb7cd43a19cb97d24de062ee444b6783aa4966e)
Somit ist
-
![{\displaystyle {}6a=7\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee08c7880bdba264232c163cba8b2ba4992d7072)
also
-
![{\displaystyle {}a={\frac {7}{6}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/322b538028d6964ad3fc8a8412e5e8673e83779e)
und
-
![{\displaystyle {}c={\frac {11}{6}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff29a0fbf2e6d1bb0274424660ef8e3ff19f75f5)
Das gesuchte Polynom ist also
-
![{\displaystyle {}P={\frac {7}{6}}X^{3}-3X^{2}+{\frac {11}{6}}X+2\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6454cf4f5bc4fe48e513735ebafb77285582b16e)
- Wir machen den Ansatz
-
![{\displaystyle {}Q=X^{3}+rX^{2}+sX+t\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a8730b8cf8753b1297cff22618794b1cf46d51)
Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
-
![{\displaystyle {}t=1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff285aa431d03ab9773f08312367bb846895f93)
-
![{\displaystyle {}8+4r+2s+t=3\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98953ec021e17e2cc288c33edc9d4f024dc8e685)
-
![{\displaystyle {}27+9r+3s+t=10\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f1141792fe1fa01a49fde39fd0aa6ea90a28f9e)
Dies führt auf
-
![{\displaystyle {}4r+2s=-6\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e297b522d002257a406ef0744821522450eca88a)
-
![{\displaystyle {}9r+3s=-18\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5690ead76d2a1109b2d24a7dd465bd1dfdb0e86)
Die Gleichung
ist
-
![{\displaystyle {}-6r=18\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f8ef36cd420fb470d0294928d128535fa0a39cf)
also
-
![{\displaystyle {}r=-3\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f785fb4e614cedac55025bebb0fce687fa40748f)
und
-
![{\displaystyle {}s=3\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef3d704de495eaf6738b5f1718a393a376fda83)
Das gesuchte Polynom ist also
-
![{\displaystyle {}Q=X^{3}-3X^{2}+3X+1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71754f7d7dbf79aafe0f077b22a3d073793eaca7)
- Die
-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen zu
und zu
sind die Nullstellen von
-
![{\displaystyle {}P-Q={\frac {7}{6}}X^{3}-3X^{2}+{\frac {11}{6}}X+2-{\left(X^{3}-3X^{2}+3X+1\right)}={\frac {1}{6}}X^{3}-{\frac {7}{6}}X+1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f830d812e0b71cb65e696682c02dd4dd4450807)
Wir arbeiten mit
. Wegen
-
![{\displaystyle {}P(2)=3=Q(2)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4031421b260f09cb9dcb455d1923479fd05da38)
ist
eine Nullstelle dieses Polynoms. Die Division mit Rest führt auf
-
![{\displaystyle {}X^{3}-7X+6=(X-2)(X^{2}+2X-3)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a72588720c1b14554e30e6ca7b828c9b746af19)
Es geht also noch um die Nullstellen von
-
Diese sind
und
.
Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind demnach
-