Kubische Kurve/Finde einen Punkt/C/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den Schnitt der Kurve mit der Geraden $V(X-Y)$, also die zusätzliche Bedingung, dass  $X=Y$  ist. In die Kurvengleichung setzen wir also  $Y=X$  ein und erhalten die Bedingung

$X^3-X^3+4X^2-2XX+X+3=2X^2+X+3=0.$

Die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung liefert

$X=-\frac{1}{4}\pm \sqrt{-\frac{23}{16}}=-\frac{1}{4}\pm \mathrm{i}\frac{\sqrt{23}}{4}.$

Daher ist

$(\frac{-1+\sqrt{23}\mathrm{i}}{4},\frac{-1+\sqrt{23}\mathrm{i}}{4})$

ein Punkt der Kurve.

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