Kubische Kurve/Finde einen Punkt/C/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den Schnitt der Kurve mit der Geraden ${}V(X-Y)$, also die zusätzliche Bedingung, dass  ${}X=Y$  ist. In die Kurvengleichung setzen wir also  ${}Y=X$  ein und erhalten die Bedingung

${}X^{3}-X^{3}+4X^{2}-2XX+X+3=2X^{2}+X+3=0\,.$

Die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung liefert

${}X=-{\frac {1}{4}}\pm {\sqrt {-{\frac {23}{16}}}}=-{\frac {1}{4}}\pm {\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {23}}{4}}\,.$

Daher ist

$\left({\frac {-1+{\sqrt {23}}{\mathrm {i} }}{4}},\,{\frac {-1+{\sqrt {23}}{\mathrm {i} }}{4}}\right)$

ein Punkt der Kurve.

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